ÁLGEBRA DE FUNCIONES MEDIANTE PROCESOS DE VISUALIZACIÓN

Vicente Carrión Miranda,
Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV, México.
Alicia Ávalos Caudillo
Universidad Latina de América
Morelia, Mich., México

Resumen. El trabajo se compone de tres partes, a saber:

Revisión de libros de cálculo y de análisis matemático para estudiar la forma en que presentan el álgebra de funciones poniendo especial énfasis en los recursos visuales que utilizan para su ilustración.

Una estudio experimental con profesores y estudiantes para analizar la forma en que abordan el álgebra de funciones y detectar los problemas y dificultades que tienen en el tratamiento analítico y visual.

Una propuesta para el tratamiento visual del álgebra de las funciones utilizadas en el nivel medio de enseñanza.

En lo que sigue se expone sólo parte del tercer punto, dejando los otros para una presentación posterior. Se ha elegido el tema de visualización por las ventajas que presenta en la enseñanza para ilustrar conceptos matemáticos o problemas y por la ayuda que aporta para comprender los conceptos, o para resolver los problemas; es decir, por ser un medio necesario para conseguir entendimiento. Se escogió el álgebra de funciones por ser un tópico que, en general, no se trata visualmente en los libros de texto y la visualización es un recurso que integra múltiples conceptos involucrados en el tema.

Niveles de graficación

Duval, R. (1993) afirma que la lectura de representaciones gráficas presupone distinguir las variables visuales de las variaciones correspondientes en la escritura algebraica mediante una interpretación global, contraria a la práctica de la lectura de puntos asociados a un pareja de números. Por lo general en la enseñanza sólo se realiza el paso de una fórmula a una representación gráfica trazando puntos aislados; sin embargo, el proceso inverso, que presenta mayores problemas, no se trata como debiera. Para efectuar el paso inverso la aproximación punto por punto, además de ser inadecuada, constituye un obstáculo.

De acuerdo a las consideraciones visuales Duval propone tres maneras diferentes para construir una representación gráfica, una forma cuantitativa de punteo, una forma cualitativa-cuantitativa de extensión de trazo y una forma de interpretación global de las propiedades de las figuras.

La graficación punto a punto es una forma de uso generalizado que se utiliza en los niveles elementales para introducir y definir representaciones gráficas. En un sistema de ejes coordenadas una pareja de números reales identifica un punto en el plano e inversamente, un punto se asocia a una pareja de números. La característica que define el tratamiento de punteo es utilizar como único recurso puntos calculados con las fórmulas algebraicas que definen la curva. Los valores obtenidos para las variables dependiente e independiente se disponen en una tabla. Esta forma de graficar se limita a valores particulares y a unir con segmentos de curva los puntos marcados en el plano coordenado. Es adecuada al trazar la representación gráfica de ecuaciones de primero o segundo grados; o en la lectura de puntos "fáciles de localizar", como intersecciones de ciertas curvas con los ejes o con otras curvas.

La extensión del trazo efectuado corresponde a las actividades de interpolación y extrapolación. No se apoya sólo en un conjunto finito de puntos como en el caso del punteo; se basa en el trazo de segmentos de curvas que corresponden a conjuntos infinitos de puntos potenciales, contenidos en un intervalo que se define entre dos "puntos característicos" de la curva. El tratamiento se orienta a la búsqueda de ciertos valores particulares excluyendo como único recurso el uso de puntos bajo sustituciones de valores en la fórmula.

En la interpretación global de las propiedades de una representación gráfica está presente una imagen correspondiente a un "objeto" descrito por una expresión algebraica. Una modificación de la imagen que conduce a un cambio en la escritura de la expresión algebraica determina una variable visual pertinente para la interpretación de la gráfica. A partir de un análisis de congruencia entre dos registros de representación de un objeto es importante identificar todos los cambios posibles de la imagen con sus correspondientes cambios de la escritura algebraica. El tratamiento no toma en cuenta la asociación "punto-pareja de números"; más bien considera la asociación "variable visual de la representación-unidad significativa de la escritura algebraica". La última relación requiere de un análisis semiótico de los registros visual y algebraico.

A continuación se establecen las acciones matemáticas que precisan cada uno de los tratamientos de graficación.

El tratamiento de graficación mediante el trazo de puntos se puede utilizar en los siguientes casos:

Al graficar funciones de r en r utilizando una tabla de dos columnas de números. La primera representa la variable independiente y la segunda la dependiente. La tabla registra parejas de números que representan puntos sobre curvas en el plano.

Al graficar familias de funciones de r a un conjunto de ecuaciones expresadas con fórmulas que contienen un parámetro. Se usa una tabla de dos columnas, una contiene números y la otra ecuaciones o fórmulas. A cada valor del parámetro se le asocia una ecuación. La tabla registra miembros de familias de curvas asociadas a cada valor del parámetro.

Al graficar transformaciones de r ² en r ². La tabla registra pares de parejas de números que representan transformaciones de puntos del plano al plano.

Al graficar familias de transformaciones de r en un conjunto de parejas de ecuaciones expresadas con fórmulas que contienen un parámetro. A cada valor del parámetro se le asocian dos ecuaciones. Se utiliza una tabla de dos columnas; la primera es una lista de números y la otra contiene transformaciones establecidas por parejas de fórmulas. Es decir, la segunda columna registra miembros de familias de transformaciones geométricas de r ² en r ².

El tratamiento de graficación por intervalos se precisa realizando algunas de las siguientes acciones:

Utilizar "puntos característicos" de las curvas como las intersecciones con los ejes o entre dos o más curvas, puntos críticos, puntos de inflexión o puntos de discontinuidad. Se pueden emplear rectas o curvas que facilitan determinar el comportamiento de la curva (asíntotas); por ejemplo, para analizar la variación de y, la variable dependiente, cuando x, la variable dependiente, "se acerca" a un punto dado o "se aleja" indefinidamente del origen. Los puntos característicos y las asíntotas permiten definir en todo un intervalo comportamientos precisos de la curva; por ejemplo, intervalos donde es positiva o negativa; donde es creciente, decreciente o constante; o intervalos de algún tipo de concavidad.

Usar directamente formas algebraicas de ecuaciones que definen simbólicamente una curva.

Transformar algebraicamente una fórmula para analizar ciertos comportamientos de la curva; por ejemplo, despejar x de la fórmula para examinar su comportamiento asintótico.

Utilizar el significado geométrico que tienen los parámetros de las fórmulas algebraicas.

Recurrir al uso del álgebra de funciones en intervalos donde las funciones que intervienen tienen características adecuadas para efectuar la operación con todos los elementos del intervalo.

Emplear la composición de funciones para valores de la variable independiente sobre intervalos del dominio donde la composición tiene determinado comportamiento.

Una descripción matemática a tomar en cuenta en una interpretación global de las propiedades de las figuras se define utilizando los siguientes recursos:

Uso de transformaciones geométricas; por ejemplo, rotaciones, traslaciones o reflexiones.

Uso de la composición de funciones para valores de la variable independiente en todo el dominio de la curva.

Visualización

El término visualización no es muy familiar en matemáticas y sus connotaciones pueden no ser obvias. El uso común en psicología se relaciona con la habilidad de los sujetos para formar y manipular imágenes mentales. Desde la perspectiva de la matemática es inusual la restricción de que las imágenes deben ser manipuladas mentalmente. La visualización se toma como la habilidad para trazar con lápiz y papel un diagrama apropiado, con ayuda de una calculadora o una computadora. El diagrama sirve para representar un concepto matemático o un problema y ayuda a comprender el concepto o a resolver el problema. La visualización no es un fin en sí mismo sino un medio para conseguir entendimiento (Zimmermann, W. & Cunningham, S.;1991).

Obsérvese que no se habla de visualizar un diagrama sino de visualizar un concepto o problema. Visualizar un diagrama significa formar una imagen mental del diagrama; visualizar un problema significa entender el problema en términos de un diagrama o de una imagen visual. La visualización en matemáticas es un proceso para formar imágenes mentales con lápiz y papel, o con la ayuda de tecnología y utilizarla con efectividad para el descubrimiento y comprensión de nociones matemáticas.

Los psicólogos se han interesado en la relación entre la visualización y los mecanismos del razonamiento humano. Los matemáticos han sabido del valor de los diagramas y otras herramientas visuales tanto para la enseñanza como para los procesos heurísticos en el descubrimiento de la matemática. Sin embargo, a pesar de la importancia obvia de las imágenes visuales en las actividades cognitivas humanas las representaciones visuales permanecen en segundo término, tanto en la teoría como en la práctica de la matemática (Barwise, J. & Etchemendy, J.; 1991).

Mucho de la falta de entendimiento se debe a fallas al establecer y detallar conexiones entre los aspectos visuales y analíticos de los conceptos y procedimientos matemáticos. Aunque los beneficios de la visualización de los conceptos matemáticos se reconoce, con frecuencia, hay reticencia para aceptarlos; se prefiere el pensamiento algorítmico sobre el visual. Pensar visualmente demanda hechos cognitivos de mayor nivel que pensar algorítmicamente y es natural para los estudiantes gravitar lejos del pensamiento visual. Eisenberg, T. & Dreyfus T. (1991) afirman que la preferencia de los estudiantes para hacer argumentos no visuales no es accidental. El argumento analítico es corto, claro, con pocas suposiciones y da el resultado sin extensas implicaciones; para el estudiante es fácil de aprender y fácil de aplicar a ejercicios procediendo mecánicamente al hacer los cálculos. Es fácil de enseñar, no requiere la preparación de una gráfica o elaborar o correr un programa. Por otra parte, el argumento visual requiere prerrequisitos relacionados con cierto manejo de conocimiento visual, muestra información adicional relacionada, es más difícil de entender y provoca discusión.

Los autores citados distinguen tres tipos de razones que tienen los estudiantes para evitar la visualización; una cognitiva: lo visual es más difícil de comprender; una sociológica: lo visual es más difícil de enseñar; y una relacionada con la naturaleza de la matemática: se dice que lo visual no pertenece a la matemática. Afirman que existe una diferencia aparente entre los métodos de procesamiento de la información usada por los matemáticos en su propio trabajo que, con frecuencia, son visuales y los utilizados en la enseñanza, donde los elementos visuales son relegados sólo a un papel ilustrativo. El conocimiento académico es intrincado y contiene múltiples vínculos que no pueden ser presentados como un paquete porque los elementos de este conocimiento deben tomarse aparte y ordenarse secuencialmente. Necesariamente este proceso destruye muchos vínculos y, por consiguiente, deteriora parte considerable de la unidad del conocimiento. La preparación didáctica del conocimiento implica la formulación de un texto lineal que le da estructura al conocimiento, proporcionándole, por ejemplo, un principio y un final. Ésta no es la estructura del conocimiento "que se encuentra en la mente del matemático". La compartimentalización del conocimiento ocurre no solamente porque los vínculos entre los conceptos y los procedimientos son destruidos u omitidos, sino también porque en la escuela el conocimiento se enseña, necesariamente, separado de su contexto. "Un cuerpo de conocimiento" es dividido en un gran número de "porciones pequeñas", aisladas. Por otra parte, los prerrequisitos deben hacerse explícitos, más que presentarse implícitamente. El conocimiento se presenta lo más similar posible a la manera del que ya posee el estudiante. El nuevo conocimiento se conserva en un nivel bajo; con frecuencia se establece por medio de construcciones de algoritmos y procedimientos de lo que debe enseñarse. Para propósitos de enseñanza se formula poniendo de relieve procedimientos computacionales que conducen a presentaciones secuenciales. El procesamiento analítico de la información usa representaciones sentenciales formando una sucesión de expresiones; en cambio el procesamiento visual usa representaciones diagrámaticas. Larkin y Simon, citado por Eisenberg, T. & Dreyfus T. (1991), afirman que el procesamiento de los dos tipos de representaciones es necesariamente diferente. "La diferencia fundamental entre las representaciones diagramáticas y secuenciales es que la primera preserva explícitamente la información acerca de las relaciones topológicas y geométricas entre las componentes del problema y la representación secuencial no".

Toda esta información está contenida en fórmulas para establecer los conceptos matemáticos implícitamente. La información diagramática es más útil no porque exista más información en el diagrama sino porque esa información se presenta exhibiendo explícitamente sus partes importantes y los nexos conceptuales relevantes entre ellas. Sin embargo, las representaciones diagramáticas no son inteligibles de manera inmediata.

Se ha seleccionado un ejemplo para ilustrar la ausencia de procesos visuales en libros de texto, el "álgebra de funciones". Aunque una revisión más completa sobre los libros de matemáticas que incluyen el tema se expone en la segunda parte de este trabajo, aquí sólo se comenta que algunos libros de cálculo diferencial o de análisis matemático únicamente examinan el álgebra de funciones desde el punto de vista analítico. La definición que presentan es la siguiente:

Si f y g son funciones reales con dominios D_f y D_g, respectivamente, entonces f + g y fg son funciones con dominio D_f Ç D_g y regla de correspondencia

f + g = {(x, f (x) + g (x)) | xÎ Df Ç Dg }

f g = {(x, f (x)·g (x)) | xÎ Df Ç Dg }

Aclaran que las operaciones de adición y multiplicación entre funciones tienen todas las propiedades postuladas para las mismas operaciones sobre números reales con excepción de los inversos únicos. Para funciones f y g reales con dominio D_f y D_g, respectivamente, definen, además,

Si f es una función real, - f es la función con regla de correspondencia [- f ] (x) = - f (x).

f - g = f + (- g)

, donde la regla de correspondencia de es

, g (x) ¹ 0.

Definen "f composición g", f o g, como una función que su dominio son los elementos xÎ D_g tales que xÎ D_f . La regla de correspondencia es [ f o g] (x) = f (g (x)).

Presentan ejemplos de funciones de dominio finito para ilustrar que, en general, f o g ¹ g o f .

Los libros que tratan el álgebra de funciones no dan alguna explicación sobre la forma de proceder para sumar gráfica o globalmente las curvas. No ilustran gráficamente la diferencia, ni el producto ni el cociente de funciones. Una minoría incluyen el siguiente diagrama como ilustración visual de la suma de dos funciones f y g cualesquiera.

Análogamente, para la composición de funciones registran el diagrama inferior, sin describir la forma de establecer los elementos del dominio ni de la imagen de la composición f o g.

De igual manera, no proponen ejercicios de aplicación para ilustrar la suma, resta, multiplicación o división de funciones. No obstante, presentan ejemplos y proponen ejercicios de aplicación para la composición de funciones. Cuando ilustran con ejemplos la función f o g, para dos funciones f y g dadas, primero obtienen analíticamente f o g y, después, en forma independiente, grafican las funciones f, g y f o g, sin exhibir mediante un proceso visual los pasos que precisan la manera de establecer la composición f o g.

Con base en la exposición que antecede y utilizando recursos visuales se presentan en seguida las operaciones algebraicas de las funciones fundamentales utilizadas en el curriculum del nivel medio.

Representación visual del álgebra de funciones.

Se parte de cuatro funciones definidas en r , consideradas la base para obtener otras que también se tratan en el curriculum escolar. Ellas son la función constante, y = c, la función identidad, y = x, la función seno,

y = senx y la función exponencial, y = a^x, a > 0, a ¹ 1.

Ejemplo 1. Sumar las rectas y = x y x = 2.   ® Los segmentos de recta paralelos al eje y¥y representan la totalidad de valores de la función.   ¯ La suma de dos funciones, en un mismo dominio, siguiendo un procedimiento gráfico, consiste en obtener una representación gráfica determinada por todas las ordenadas que se obtienen al sumar, en cada valor del dominio, los valores correspondientes de ambas funciones.

y = x, - 8 £ x £ 8

y = 2, - 8 £ x £ 8

y = x + 2, - 8 £ x £ 8

® Para sumar y = 2 con   y = x se desplaza la recta   y = 2 hasta colocarla "arriba" de la recta y = x. Se determina una banda de 2 unidades de ancho. La banda es la diferencia   y = (x + 2) - x = 2. (El efecto visual de restar dos funciones de igual es la región sombreada entre ambas).

y = (x + 2) - x, - 8 £ x £ 8

Al realizar gráficamente las operaciones definidas en el álgebra de funciones se operan globalmente las ordenadas de todos los valores de sus dominios, divididos en intervalos donde las curvas presentan características convenientes para la operación.

Ejemplo 2. Sumar las rectas   y = 2x - 2, - 4 £ x £ 6 y x = 4, - 10 £ y £ 10.   ® Obsérvese que y, en la primera recta, está en función de x; sin embargo, en la segunda no es posible despejar y en términos de x. Consecuentemente, no se pueden sumar en forma directa estas rectas.   ¯ Para hacer posible la suma, primeramente se expresa x en función de y en la primera recta.

y = 2x - 2, - 4 £ x £ 6

x = 4, , - 10 £ y £ 10

Se utilizan los símbolos x₁ y x₂ para representar las rectas que se suman.

, - 10 £ y £ 10

® Para efectuar la suma se desplaza la recta x2 = 4 hasta colocarla "a la derecha" de la recta . Se determina una banda de 4 unidades de ancho. La banda es la representación gráfica de la diferencia       = 4.

x2 = 4, - 10 £ y £ 10

- 10 £ y £ 10

¬ Suma de las rectas, obtenida gráficamente, expresada en términos de la variable y: x = x1 + x2.       ® Expresión gráfica de la variable y en términos de x.

y = 2x - 10, - 4 £ x £ 6

Ejemplo 3. Multiplicar la función identidad por la función constante. La constante puede ser cualquier número real.

Multiplicar la función y = x por cada una de las funciones y = 2 y y = - 2.   ® El producto de una función por una constante, en un mismo dominio, procediendo gráficamente, consiste en una representación gráfica determinada por todas las ordenadas que se obtienen al multiplicar, para cada valor del dominio, los valores correspondientes de la función por la constante. Si el valor absoluto de la constante es mayor que la unidad la representación gráfica del producto "se aleja" del eje x¥x y si es menor que la unidad "se acerca" al mismo eje.		y = 2x, - 4 £ x £ 4			y = - 2x, - 4 £ x £ 4
Ejemplo 4. Multiplicar por sí misma, dos veces, la función identidad. ® El producto de dos funciones que tienen un mismo dominio, obtenidos gráficamente, consiste en una representación gráfica determinada por todas las ordenadas obtenidas por multiplicar, para cada valor del dominio, los valores correspondientes de las dos funciones. ¯ Primeramente se considera el caso en que 0 £ x £ 1.			y = x, - 1 £ x £ 1
y = x2, 0 £ x £ 1	Las siguientes propiedades aritméticas ayudan a establecer una representación gráfica del producto de dos funciones:   El cuadrado de un número mayor que cero y menor que la unidad es un número menor que el número dado.   El cuadrado de la unidad es igual a la unidad.   El producto de dos números mayores que cero y menores que la unidad es un número positivo menor que el menor de los factores.
® Para el intervalo - 1 £ x £ 0 se toma en cuenta la curva obtenida cuando 0 £ x £ 1. En el segundo cuadrante se traza una curva simétrica a la que se obtuvo en el primer cuadrante, la simetría es con respecto al eje y¥y. Lo anterior se debe a que los valores de las ordenadas en el dominio de la función, para valores de x simétricos con respecto al origen, son iguales en valor absoluto. En consecuencia, sus cuadrados son iguales.			y = x2, - 1 £ x £ 1
® Para los intervalos x < - 1 o x > 1 se consideran los lineamientos seguidos en los trazos anteriores y las propiedades aritméticas que siguen:   El cuadrado de un número mayor que la unidad es un número mayor que el número dado.   El producto de dos números mayores que la unidad es un número positivo mayor que el mayor de los dos factores.				y = x2, - 2 £ x £ 2

Obsérvese que la curva se encuentra "por debajo" de la gráfica de y = | x | para - 1 £ x £ 1 y "por arriba" de la gráfica y = | x | para x < - 1 o x > 1. Un análisis similar puede seguirse para el tratamiento gráfico de la parábola .

Ejemplo 5. Sumar dos parábolas.

® Sumar las parábolas   y1 = 12x2 - 30x - 130, y2 = - 8x2 - 6x + 70.   ¯ Las regiones donde y2 es negativa se colocan "debajo" de y1 y las regiones donde y2 es positiva se desplazan hasta colocarse "arriba" de y1 . El borde de la parte superior del área sombreada es la suma y1 + y2.

y1 = 12x2 - 30x - 130, - 5 £ x £ 6

y2 = - 8x2 - 6x + 70, - 5 £ x £

y1 + y2 = 4x2 - 36x - 62, - 5 £ x £ 6	® Para sumar las mismas parábolas en el orden   y2 + y1 las regiones donde y1 es negativa se colocan "debajo" de y2 y las regiones donde y1 es positiva se desplazan hasta colocarse "arriba" de y2 . De nuevo, el borde de la parte superior del área sombreada es la suma   y2 + y1.	y2 + y1 = 4x2 - 36x - 62 - 5 £ x £ 6
| y1 - y2 | , - 5 £ x £ 6	Al restar las parábolas y1 y y2 se procede como sigue:       ¬ Las regiones sombreadas representan visualmente cualquiera de las diferencias y1 - y2 o y2 - y1, dependiendo del sentido en que se considere la operación: y2 - y1, de "abajo hacia arriba" o y1 - y2 en el orden contrario.   ® En el ejemplo se traza la diferencia y1 - y2.	y1 - y2 = 20x2 - 24x - 200, - 5 £ x £ 6

Ejemplo 6. A partir de la función y = senx obtener gráficamente y = cosx.
De la fórmula sen²x + cos²x = 1 se despeja senx: ,
(En las representaciones gráficas que siguen se considera la aproximación p » 3.14).

¯ Representación gráfica de y = senx, xÎ (0 , 2 p ).	¯ Representación gráfica de y = sen2x, xÎ (0 , 2 p ).
® La parte sombreada expresa el proceso gráfico de restar la función y = sen2x de la función constante y = 1.
¯ Representación gráfica de y = 1 - sen2x, xÎ (0 , 2 p ).	¯ Representación gráfica de , xÎ (0 , 2 p ).

ºººººººº

® Representación gráfica de la función

Otra forma de obtener los mismos resultados es proceder de la siguiente manera:

	¬ Representación gráfica de y = - sen2x, xÎ (0 , 2 p ). ¯ La parte sombreada representa el proceso gráfico de restar la función y = sen2x de la función constante y = 1.
® La curva que es el borde inferior de la región sombreada es la representación gráfica de y = 1 - sen2x, xÎ (0 , 2 p ).

Ejemplo 7. A partir de las funciones y = senx y y = cosx obtener gráficamente y = tanx.
Se utiliza la fórmula expresada por el cociente .

® Representación gráfica de las funciones   y = senx y y = cosx, xÎ (0 , 2 p ). Se ubican los siguientes puntos característicos: extremos, intersecciones de las curvas y ceros de las variables. Son puntos que determinan los intervalos que permiten examinar el comportamiento gráfico de la curva y = tanx.
Con esta información se puede bosquejar la representación gráfica de la función tangente.
® El cociente de dos funciones que tienen un mismo dominio, si se obtiene con recursos gráficos, consiste en una representación gráfica determinada por todas las ordenadas obtenidas al dividir, para cada valor del dominio, los valores correspondientes de las dos funciones (Recuérdese que si el numerador es diferente de cero y el denominador "se acerca a" cero para algún valor del dominio de las funciones entonces la ordenada del cociente "se aleja" indefinidamente del eje x¥x; o si ambos "se acercan a" cero, para cierto valor de x, se trata de una indeterminación que debe definirse).	y = tanx, xÎ (0 , 2 p )

Ejemplo 8. A partir de las funciones f (x ) = x3 - 6x2 - 4x + 24 y g (x ) = 2x, obtener gráficamente la composición y = f (g (x )), xÎ (- 7, 8).

f (g (x )) = (2x)3 - 6(2x)2 - 4(2x) + 24, = 8x3 - 24x2 - 8x +24, xÎ (- 7, 8)   ¬ La abscisa de cada punto de la representación gráfica de f o g es el doble de la abscisa del punto de f y la ordenadas son las mismas en ambas funciones. La representación gráfica de f o g se obtiene al comprimir hacia el eje y¥y la representación gráfica de f, hasta su mitad, como resultado de amplificar al doble las abscisas.

Ejemplo 9. A partir de las funciones f (x ) = x3 - 6x2 - 4x + 24 y g (x ) = x +3, obtener gráficamente la composición y = f (g (x )), xÎ (- 7, 8).

f (g (x )) = (x +3)3 - 6(x +3)2 - 4(x +3) + 24, = x3 +3x2 - 13x - 15, xÎ (- 7, 8).   ® Cuando se asigna un valor a la variable independiente x la composición f o g se valúa en x +3. Para obtener las abscisas de los puntos de la representación gráfica de f o g las abscisas de los puntos de f se desplazan tres unidades a la izquierda y las ordenadas son las mismas en ambas funciones. La representación gráfica de f o g resulta de trasladar tres unidades a la izquierda la gráfica de f .

Ejemplo 10. A partir de las representaciones gráficas de las funciones f (x) = ex y g (x) = x2 - 2x - 1, xÎ (- 1, 3), obtener la composición f (g (x )) = = .

¯ Representaciones gráficas de f (x) = ex y g (x) = x2 - 2x - 1, xÎ (- 1, 3).

® Las intersecciones de la parábola g con el eje x¥x son puntos límites para determinar dónde la composición es cero, positiva o negativa. Con esos valores se precisan los intervalos donde la función f (g (x )) = , es igual, mayor o menor que la unidad.

¯ Representación gráfica de la composición f (g (x )) = = , xÎ (- 1, 3).

Obsérvese que la obtención de la composición sólo con recursos visuales es una tarea difícil. Es necesario recurrir al las representaciones algebraicas de las funciones o utilizar dispositivos electrónicos.

Consideraciones finales

1. Se puede incorporar la visualización en procesos de graficación en los tres niveles propuestos por R. Duval, la forma cuantitativa de punteo, la forma cualitativa-cuantitativa de extensión de trazo y la forma de interpretación global de las propiedades de las figuras.

2. Es posible incluir la visualización en cuatro formas de representaciones gráficas,

Una o varias curvas en el plano, trazadas en forma independiente.

Familias de curvas en el plano.

Transformaciones geométricas del plano en el plano.

Familias transformaciones geométricas del plano en el plano.

3. La visualización presenta ventajas para la enseñanza en la ilustración y comprensión de conceptos matemáticos. Es innegable el valor de los diagramas y otras herramientas visuales tanto para la enseñanza como para los procesos heurísticos en el descubrimiento de la matemática. Deben establecerse conexiones entre los aspectos visuales y analíticos de los conceptos y los procedimientos y propiciar acciones educativas tendientes a relacionar los pensamientos algorítmico y visual.

4. El tema seleccionado, el álgebra de funciones, requiere como antecedente del conocimiento y manejo de propiedades aritméticas y algebraicas útiles al operar gráficamente las funciones.

5. Por lo general, el álgebra de funciones no se trata visualmente en los libros de texto. La argumentación visual del tema se construye necesariamente sobre algunos prerrequisitos de conocimiento, también visuales, tales como la representación gráfica de las funciones que se operan, crecimiento de la curva, regiones donde la curva es positiva o negativa, concavidad de las curvas, intersecciones con los ejes, o con otras curvas, puntos críticos, etc. Además del conocimiento gráfico de estos elementos se requiere operar las coordenadas de puntos individual y globalmente, utilizando propiedades comunes que presentan esas coordenadas en todo un intervalo.

Referencias

Barwise, J & Etchemendy J. (1991).Visual Information and Valid Reasoning. En Visualization in Teaching and Learning Mathematics. Editores: W. Zimmermann y S. Cunnungham.

Duval, R . (1993). Registres de représentation sémiotica et functionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique el de Sciences Cognitives, 5 (1993), pp. 37-65. IREM de Strasbourg. Traducción para fines educativos, Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN. México.

Eisenberg, T. & Dreyfus T. (1991). On the Reluctance to Visualize in Mathematics. En Visualization in Teaching and Learning Mathematics. Editores: W. Zimmermann y S. Cunnungham.

Zimmermann, W. & Cunningham S. (1991). EditorsíIntroduction: What is Mathematical Visualization? En Visualization in Teaching and Learning Mathematics. Editores: W. Zimmermann y S. Cunnungham.

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