Reflexiones en torno al uso del derive, en el tránsito entre representaciones en el estudio de superficies

RESUMEN: El hecho de que el derive, con sólo teclear la expresión algebraica de una función, casi de manera inmediata nos da la correspondiente representación geométrica, uno estaría tentado a pensar que el problema del tránsito entre representaciones ya está resuelto, creemos que es necesario hacer un uso más reflexivo del instrumento y analizar las posibles formas de uso, en donde la reflexión por parte del estudiante es o debe ser el corazón de la actividad. En el estudio de las superficies, la variedad de formas en las que son representables, el contar con un instrumento que hace obsoletas las técnicas analíticas, nos permite nuevos acercamientos para centrarnos en los aspectos conceptuales que son el centro de la actividad y de exploración, la idea es presentar y hacer el tratamiento en base a ejemplos que muestren el potencial para tratar no con simples problemas aislados, sino que formen parte de una estrategia de análisis en donde el instrumento tiene un lugar muy importante, para hacer comparaciones entre distintas superficies, y además, en el estudio de un ejemplo específico, se pueden establecer conexiones entre los elementos que están en juego y que son los que determinan las características de la superficie. creemos que en base a problemas específicos de demandar comportamientos geométricos, las ideas pueden ir surgiendo de manera natural conforme son requeridos por la situación del problema. Con una secuencia de actividades con el apoyo del derive, es posible que el tratamiento se haga de manera simultánea, (representación geométrica y algebraica) brindando la oportunidad de hacer exploraciones del pasaje de una representación a otra, y así descubrir, corroborar o corregir comportamientos geométricos esperados.

En el marco del tránsito entre representaciones como una forma de asentar los conceptos, en particular en el estudio de las funciones en el cálculo avanzado, a diferencia del cálculo real de variable real, la representación algebraica toma más de una forma, nos referimos a las representaciones explícitas, paramétricas e implícitas, por lo que es importante incluir actividades que demanden el paso de una representación algebraica a otra algebraica, sin descuidar el paso de una representación a otra, por ejemplo, de una descripción en el lenguaje natural, a la representación algebraica o geométrica, o de la representación diagramática la obtención de otro tipo de representación, vemos que el tipo de posibilidades se amplían notablemente, no sólo hacia la gama de posibilidades entre representaciones, sino también, en el caso de un ejemplo específico, están presentes las distintas representaciones en los elementos que se ponen en juego para la obtención de la gráfica de una función.

Presentaremos una serie de ejemplos, donde mostraremos las ventajas de contar con un software a disposición, (El Derive) y una posible forma de usarlo, orientados siempre hacia un uso reflexivo de estas herramientas, tanto por parte del profesor, para no caer en un punto de vista ingenuo, al pensar que el sólo presentar las expresiones algebraicas y sus correspondientes gráficas, el problema en el tránsito entre representaciones ya está resuelto, y por parte del estudiante como usuario, para que reflexione, en torno a los resultados que se presentan en pantalla, con la idea de ir descubriendo patrones de comportamiento entre las representaciones algebraicas y sus correspondientes representaciones geométricas, que sin estos elementos en juego, el uso del paquete, no se diferenciaría de otras prácticas como puede ser, el tener un catálogo impreso de expresiones algebraicas y sus correspondientes gráficas.

Gráficas de superficies

Para abordar el estudio de las gráficas de funciones de dos variables, la práctica típica es introducir los ejemplos del tipo:

f(x,y) = x² + y²

f(x,y) = x² - y²

f(x,y) = 1 -x -y

f(x,y) = x² + y + 6

y en base a el problema de encontrar la gráfica de estas funciones, se introducen los conceptos de trazas y curvas de nivel, como herramientas para descubrir y describir las gráficas correspondientes de estas funciones ( representación geométrica).

A partir de lo anterior, la idea pareciera simplemente el usar unos ejemplos aislados que sólo tienen la intención de ejemplificar ciertas funciones, sin más relevancia para el tratamiento, en el sentido de que pudieron haber sido otras, sin embargo, los anteriores los podemos ver como ejemplos típicos o puntos de partida para hacer un tratamiento más completo en torno al uso de parámetros, y que se facilita con el uso del Derive.

En base a los ejemplos, se pueden abordar problemas de encontrar la gráfica de funciones que son una generalización de los casos anteriores, y que llaman la atención hacia el efecto que se produce al cambiar parámetros, es decir, estudiar las representaciones geométricas de familia de funciones como:

f(x,y) = ax² + by² + c

f(x,y) = ax² - by² + c

f(x,y) = ax+ by + c

f(x,y) = ax² + by + c

con a, b, c, como parámetros, para que el estudiante reflexione en torno a los efectos en la representación geométrica que se producen al cambiar los valores en las expresiones algebraicas. Estas son actividades se pueden realizar sin necesidad del uso de la máquina, dada las características de los ejemplos que estamos analizando, pero el tiempo requerido para ello, y el análisis por hacer, sólo basados en la expresión algebraica, requiere de cierto reconocimiento de las expresiones de las curvas de nivel y de las trazas, sin embargo, el poder obtener las expresiones y su representación geométrica, no es garantía para reconocer la representación geométrica de la superficie, por lo que, el contar con el software, esto se facilita enormemente, en dos direcciones posibles:

En hacer comparaciones entre diversas superficies conforme se cambia el parámetro, y en una superficie específica, ver cómo las trazas y curvas de nivel determinan la forma de aquella.

Tenemos posibilidades de tener una gama de ejemplos que se pueden realizar en menos tiempo, para hacer comparaciones entre distintos ejemplos conforme se van haciendo los cambios en los parámetros deseados, llamando la atención acerca de las semejanzas y diferencias en las representaciones geométricas, y por otro lado, permiten hacer una reflexión en torno a los elementos auxiliares que están implícitamente en la representación geométrica, como son las trazas y las curvas de nivel.

Dado que en el salón de clase no es posible abordar y agotar los problemas en general, y sería de poca utilidad intentar transmitir al estudiante las conclusiones generales, ya que éstas serían producto de análisis que el profesor hace, y los estudiantes no han tomado parte activa en este análisis, lo que queda es que ellos, en el mejor? de los casos, intentarían aprenderse de memoria los efectos de los parámetros y su correspondiente representación geométrica, repitiendo esquemas que no son producto de sus propias reflexiones.

Pero, si lo que queremos es que el estudiante redescubra y tome parte más activa en las actividades, es necesario que el estudiante dedique más tiempo y esfuerzo en desarrollar los ejemplos por sí mismo. Para poder dar el salto al estudio cualitativo de los efectos de los parámetros en general, es posible hacerlo de una manera más rápida, si contamos con un software adecuado, que pueda ser utilizado como un instrumento de descubrimiento o como un instrumento de comprobación de conjeturas. En donde la justificación y el análisis de sus razonamientos son la parte fundamental de la actividad.

Un ejemplo típico del curso, sin el uso de la máquina, es como el siguiente:

Dada la expresión de la función z = f(x,y)

Encuentre la expresión de algunas curvas de nivel y grafíquelas.( por ejemplo, para k = 0,1,2, -1,-2 etc.)

Encuentre la expresión de las trazas y grafíquelas.

En base a la información anterior, bosqueje la gráfica de la función.

En este tipo de ejercicios, uno trabaja en el contexto de las expresiones algebraicas para obtener sus representaciones geométricas. Como podemos ver, la expresión de la función no debe ser muy "complicada", ya que la intención del ejercicio es introducir las ideas de trazas y curvas de nivel, y ver si es posible que a partir de ellas, el estudiante puede reconstruir la gráfica de la función. por lo que, en ocasiones, no sabemos si tienen claridad acerca de los elementos auxiliares o, si el problema es que no pueden graficarlas por falta de familiarización con las trazas y/o curvas de nivel, que son los elementos básicos para obtener la gráfica de la función.

Con el uso del Derive, Los ejemplos que se pueden analizar, son potencialmente más complejos y permiten hacer una interacción más dinámica entre los elementos que están en juego, lo que puede redundar en mayor familiaridad con la interrelación entre estos conceptos. Y lo más importante, es que se abre la posibilidad de que ellos mismos construyan sus propios ejemplos, y que en base a la discusión, describan, escriban, discutan y expongan el resultado de sus indagaciones.

Los siguientes ejemplos son una muestra de que con el uso del Derive, podemos tener tres ventanas abiertas, con la posibilidad de hacer un análisis de la relación entre las trazas, curvas de nivel y la gráfica de la función, y que nos permiten hacer un tratamiento simultáneo de las expresiones algebraicas y las representaciones geométricas de una función y algunas curvas de nivel.

f(x,y) = 4x² + 3y +6

En donde en la ventana 1 tenemos, la expresión algebraica de la función, (en forma explícita) y algunas curvas de nivel (en forma implícita).

En la ventana 2, tenemos las gráficas de las curvas de nivel anteriores

Y en la ventana 3, tenemos la gráfica de la función.

Con esto podemos ver que es posible interactuar entre los tres niveles, es decir, podemos teclear la expresión de la función, y la de algunas curvas de nivel, con sólo irlas marcando, podemos encontrar la representación gráfica de éstas en el plano.

A partir de señalar a la expresión de la función, podemos encontrar su gráfica, y retomar las curvas de nivel haciendo el análisis en las tres ventanas, de cómo se interpretan las curvas de nivel en la gráfica de la función.

A partir del ejemplo, se pueden generar nuevas funciones, pidiendo que se haga un análisis de funciones del tipo:

f(x,y) = ax² + by + c

f(x,y) = ay² + bx + c

En donde se obtengan patrones de comportamiento geométrico, en base a los signos de los coeficientes a, b y c, y del análisis de las curvas de nivel.

También podemos tratar con expresiones como:

f(x,y) = 4x² + 8x + y² + 3y + 6

En la pantalla anterior, sólo hemos mostrado dos expresiones algebraicas de las curvas de nivel y sus correspondientes gráficas, ya que la intención era mostrar las ventanas que es posible abrir y su posible uso en el análisis del comportamiento geométrico de la función, como una síntesis de las ideas que están en juego, por ejemplo:

¿Qué significa en términos geométricos en la superficie que las curvas de nivel estén muy cercanas?, ¿cuál es el valor máximo o mínimo de la función (si existe)?, ¿para qué valores de k las expresiones algebraicas de las curvas de nivel, no tienen una representación geométrica, y cómo se "traduce" este hecho en la representación geométrica de la superficie?

En realidad el análisis se puede hacer por partes, es decir, tomar varias expresiones de las curvas de nivel e irlas marcando y para ir obteniendo su gráfica, dado que el paquete permite tener en pantalla varias curvas de nivel en el mismo sistema de coordenadas, lo que permite imaginar la forma de la función, haciendo el análisis geométrico y algebraico simultáneamente. es decir, a partir de la forma geométrica de las curvas de nivel, se puede conjeturar la forma de la función, y tenemos una forma de comprobar o de reconsiderar las conjeturas, en base al análisis de lo obtenido con el uso de la máquina.

El ejemplo anterior, es un ejercicio que podemos hacerlo sin el soporte del software, en donde partiríamos sólo de la expresión algebraica, el lector puede imaginar el tiempo necesario para desarrollar una de las curvas de nivel para encontrar los elementos que caracterizan a la elipse, que nos recuerda los procedimientos propios de la geometría analítica, que consisten en una serie de procedimientos algebraicos sólo para encontrar una de las elipses, en el siguiente paso, se convierte en un procedimiento de repetición de la rutina, para encontrar otra de las elipses, para el tercer ejemplo de la curva de nivel, todo el procedimiento, se pierde en rutinas que no son el tema de discusión, sino que son los elementos en los que nos apoyaremos para el objetivo general que era encontrar la forma geométrica de la superficie y que hacen que se pierda entre tantos cálculo rutinarios, cuando en realidad, estamos planteando el estudio de familias de superficies.

Como podemos mostrar que aún cuando se requiere de cierta instrucción para el manejo y aparición de las ventanas y familiarización con el paquete, lo que se logra es que se potencie la calidad de los ejemplos exploratorios, en donde el estudiante no dependa exclusivamente de sus destrezas para hacer las gráficas, y centrar la atención en el análisis que es posible realizar a partir de las obtenidas con el uso del software.

Veamos otro ejemplo (ver figura en la página siguiente), el cual es sólo una muestra de cómo con el uso del Derive, podemos tener en pantalla la representación algebraica de una superficie, algunas curvas de nivel, y sus correspondientes representaciones geométricas, lo que nos puede permitir hacer un tratamiento simultáneo de discusión acerca de cómo se ven las expresiones de las curvas de nivel y los efectos que pueden estar ocultos en la representación geométrica de la superficie.

A partir del ejemplo mencionado anteriormente, se puede abordar el problema de analizar la familia de funciones del tipo:

f(x,y) = ax² + by³

f(x,y) = ax³ + by²

que, de no contar con el software a la mano, este tipo de superficies es muy difícil de tratarlas, por las características algebraicas de las ecuaciones de las curvas de nivel.

Un tratamiento semejante se puede hacer con las trazas, pero tiene el inconveniente de que las representaciones geométricas de las trazas las presenta en el mismo sistema de coordenadas ( plano xy ) lo que pudiera causar confusión, ya que éstas deben ser representadas en distintos planos.

Insistimos, este tipo de ejemplos que pudieran parecer insignificantes, en realidad, desde nuestro punto de vista, deben ser vistos como herramientas de familiarización con las funciones, para que pueda en otro momento, tratarlas como objetos a los cuales les haremos un tratamiento más local, como calcularle el límite, derivadas parciales, o la diferencial en algún punto específico.

Ejemplo: La pantalla que sigue, nos muestra la representación algebraica y geométrica de la función que tiene un comportamiento singular en el origen de coordenadas.

En la representación geométrica podemos "ver" lo razonable que resulta esperar que el límite de la función no exista en (0,0).

La forma de tratar el problema del cálculo del límite en (0,0), en términos algebraicos, es darse cuenta que este punto no está en el dominio de la función, por lo que no procede simple sustitución, pero, si nos acercamos con sucesiones sobre el eje y, su límite es -1, y si nos acercamos con sucesiones que van por el eje x, su límite es 1; y por la unicidad de límite, éste no existe.

Dicho en términos algebraicos, si tomamos la sucesión (1/n, 0), la cual converge a (0,0), y la imagen, f(1/n,0) = 1; en cambio, si tomamos la sucesión (0,1/n), la cual converge a (0,0) , y su imagen f(0,1/n) = -1

Son argumentos en el terreno puramente algebraico, que si bien es cierto suenan convincentes, con el hecho de conocer el comportamiento geométrico, se amplía el panorama, ¿podríamos intentar graficar la función sin el uso del software?

Las técnica de encontrar las trazas y curvas de nivel, no son de gran ayuda para tener una idea del comportamiento geométrico de la función, es en este tipo de ejemplos en donde vemos que el uso de la máquina es de gran ayuda, pero el análisis de la situación no es sustituido simplemente por la presentación de las gráficas, sino que son elementos complementarios para el tratamiento de la situación.

Por lo que no se trata simplemente de presentación de gráficas, sino que ellas son elementos auxiliares que nos brindan la oportunidad de ver desde otra perspectiva un problema, pero que los elementos de análisis, en el sentido del tratamiento algebraico, y su argumentación lógica, no son suprimidos, porque pensamos que son elementos indispensables para lograr una comprensión mas completa del problema

Veamos otro ejemplo de una función con problemas en (0,0 ), la cual es es otro caso de funciones que son muy difíciles de graficar.

Podemos hacer un tratamiento semejante como en el ejemplo anterior, para ver que el límite no existe en el origen, pero también podemos ver que esta función, tiene problemas no sólo en el origen, sino en las asíntotas del denominador, y esto queda "claramente" manifiesto en su representación geométrica.

Estudio del plano

En el estudio de expresiones del plano, el derive, tiene la desventaja de que las representaciones geométricas se ven sin diferencias significativas, pero tiene la ventaja de que es posible cambiar la perspectiva o las coordenadas del "ojo" que las está viendo, por lo que este recurso puede ser de gran ayuda para descubrir o describir las diferencias que no son observadas desde la perspectiva estándar.

En el caso del estudio de los planos, como funciones del tipo:

f(x,y) = ax + by + c.

Es posible abordar el estudio de ellos desde la forma implícita, es decir, como expresiones de la forma:

ax + by + cz = d

donde el centro de la atención será, obtener patrones de comportamiento geométrico de los efectos de los parámetros.

Ejemplo de una secuencia: ( dadas condiciones fijas encontrar la expresión del plano)

Encuentre la expresión algebraica del plano que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)

Encuentre la expresión algebraica del plano que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,2)

Encuentre la expresión algebraica del plano que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,3)

Encuentre la expresión algebraica del plano que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,4)

Encuentre la expresión algebraica del plano que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,-1)

Encuentre la expresión algebraica del plano que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,-2)

¿Puede encontrar una expresión general de la forma

ax + by + cz = d

que pasa por (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0, k)?

Transforme la expresión anterior como una función de R² a R.

Transforme la expresión anterior como una función de R² a R³.

Repita la secuencia de actividades como las anteriores en donde el punto cambiante sea el (1,0,0).

Haga una secuencia de actividades como las anteriores en donde el punto cambiante sea el (0,1,0).

En el caso de las expresiones paramétricas, es posible restringir el dominio de la función, para "ver" partes de la imagen de la función.

A partir de las expresiones obtenidas de la secuencia anterior, se puede utilizar el derive, para analizar y ver las representaciones algebraicas obtenidas, y así comprobar lo "razonable" de las respuestas obtenidas, utilizando el comando que cambia la perspectiva desde donde se está viendo la superficie.

Hay que hacer énfasis en las distintas representaciones algebraicas de las expresiones y hacer hincapié en el cambio de una representación de una a otra y las posibles ventajas de una representación respecto a otra.

Es deseable el manejo de los tres tipos de representaciones algebraicas y su respectiva representación geométrica y hacer ejercicios del paso de la representación algebraica a la geométrica y viceversa

Ejemplo:

Encuentre los puntos de intersección del plano:

x + _ y + z = 1

2x + y + 2z = 2

10x + 5y + 10z = 10

con los ejes coordenados.

Encuentre los puntos de intersección del plano:

f(x,y) = 1 - x - y

con los ejes coordenados.

En general, dada la expresión de un plano en la forma:

f(x,y) = ax + by + c

Encuentre los puntos de intersección con los ejes coordenados.

Encuentre la intersección del plano con los planos coordenados

Si la expresión de un plano es de la forma:

ax + by + cz = d

determine los valores de los parámetros para obtener una expresión para los planos coordenados.

Las actividades anteriores, llevan el propósito que el estudiante se familiarice con los distintas formas de representación algebraica, y que pueda pasar de una a otra, y que además, pueda encontrar la representación geométrica, independientemente de la forma algebraica que esté manejando en un momento dado.

Estudio de la esfera y superficies generadas por cambio de parámetros.

Es posible readaptar las actividades hechas en el estudio de los planos para hacer un tratamiento a partir de la esfera unitaria,

x² + y² + z² = 1

hasta llevar el tratamiento al estudio de las expresiones del tipo:

ax² + by² + cz² = k

haciendo énfasis en los efectos de los parámetros.

Es importante que cada ejemplo que se trabaje en particular, tener presente que debe transformarlo a otro tipo de representación (cuando esto sea posible), es decir como función de dos variables o como la representación paramétrica que se puede generar.

Estudio de las superficies en forma paramétrica

En particular, para el estudio de las representaciones paramétricas de las superficies, es a partir de las expresiones del cambio de los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas, a coordenadas cartesianas, que son los primeros ejemplos de transformaciones del espacio al espacio, es decir, ejemplos de funciones de R³ a R³, podemos hacer un análisis, al dejar una de las variables fijas, y las otras dos restringirlas a moverse en ciertos dominios determinados, como logramos introducir las funciones de R² a R³, con sus correspondientes representaciones geométricas, que son superficies en el espacio tridimensional.

Si bien es cierto el derive no tiene el recurso de representar geométricamente la representación paramétrica, un buen recurso es obtener la representación explícita y a partir de ella obtener su representación geométrica, haciendo las comparaciones pertinentes. Lo más importante es que el estudiante tenga la oportunidad de experimentar las distintas formas de tratar con las funciones, en particular para representar superficies en el espacio tridimensional.

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