EL USO DE LA COMPUTADORA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL MEDIO SUPERIOR

ARITMÉTICA

En el nivel medio superior los alumnos presentan serias dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, estas por lo general se agudizan en los temas de Algebra, geometría Analítica y en el Calculo Diferencial e Integral, con los nuevos Programas de Enseñanza los alumnos tienen que razonar el conocimiento y poco se dedican a la parte operativa y a la agilidad mental que se requiere, la cual el maestro en el nivel medio superior la da por hecho en el salón de clases, surge entonces las preguntas: øQue tan importante es la parte operacional de la Aritmética?, øQue papel jugará la Aritmética en los cursos posteriores?, si un alumno presenta deficiencias en Aritmética, øcual será su expectativa en los cursos de matemáticas?.

Iniciemos estableciendo una verdad contundente, ante una situación cotidiana dentro de la enseñanza de las matemáticas a Nivel Medio Superior, muchos de los problemas, erratas, indecisiones, titubeos y obstáculos que sufre un estudiante que pasa por la experiencia de estudiar materias tales como Algebra, Geometría Analítica, Cálculo Diferencial, Calculo Integral, Probabilidad, Estadística , Física y otras que requieren de bases matemáticas, se evitarían si ese estudiante dominará la aritmética elemental con pericia y profundidad.

Es traumante para la gran mayoría de quienes estudian las materias mencionadas, enfrentarse a operaciones simbólicas abstractas fuera de su contexto real y simplista, situación que se agrava cuando el alumno llega a esos conceptos con una base aritmética deficiente.

Por otro lado, afirmamos que si el alumno posee bases firmes en aritmética elemental, manejo adecuado de las reglas de los signos, supresión de los signos de agrupamiento, simplificación de expresiones y orden en las operaciones, saldrá triunfante en los retos que presentan los problemas abstractos del álgebra y otras disciplinas, así tendremos un nuevo miembro en el clan de quienes amamos las matemáticas y apreciamos su belleza intrínseca.

Mostraremos dos ejemplos que se utilizaron para determinar la importancia de la Aritmética en los cursos de Álgebra y Cálculo.

Uno de ellos es en la ecuación de segundo grado:

2X² + 3X - 5 = 0

para resolverla se pueden utilizar diversos procedimientos algebraicos, uno de ellos es la formula general.

donde los valores son: a = 2 ; b = 3 y c = -5

sustituyendo se tiene

lo cual resolver, no debería de presentar ningún problema para el alumno.

La solución que se obtiene es X₁ = 1 y X₂ = - 5/2

Al proceder a comprobar sus resultados se le presentará la siguiente operación:

2(1)² + 3(1) - 5 = 0 y

La segunda operación es mas complicada que la primera, ya que presenta un número racional a operar.

En la ecuación , la solución es x = ½ ; al sustituir este valor en la ecuación para su comprobación se realizan las siguientes operaciones

En el cálculo diferencial encontramos que el problema en muchas ocasiones es aritmético y no el uso de la fórmula de derivación.

Y = X⁵ Yí = 5X⁴

Y = 3X⁵ Yí = 15 X⁴

Y = Yí = - 15 X^-6 =

Y = Yí= = Yí= =

Su derivada no presenta ninguna dificultad, sin embargo la dificultad cambia radicalmente para el alumno al tener que transcribir a una expresión con exponente fraccionario y aplicar la misma fórmula, la operación de restar uno al exponente se torna de alta dificultad en el cuarto caso y el alumno pierde la idea principal de lo que esta realizando en la aplicación de una simple fórmula debido posiblemente al hecho de su deficiente aritmética

Ante la situación planteada, se impone una intensa búsqueda de alternativas reales y factibles, con las cuales se ayuden a todos aquellos estudiantes para quienes las matemáticas son algo tedioso y un obstáculo en su vida. Es preciso que esa alternativa les facilite a esos alumnos el aprendizaje de esta ciencia tan interesante y se sienta alegría e interés al introducirse a los recovecos de ese sorprendente mundo de los cálculos y las operaciones matemáticas.

Como observamos el problema aritmético, se complica aun mas en el salón de clases, cuando el maestro supone este conocimiento y las operaciones las realiza demasiado rápido, para la agilidad mental del alumno, provocando que este se rezague y no entienda el contexto del problema .

El cerebro brinda esta oportunidad de trabajo, ya que cuando tiene que efectuar una operación esta es procesada según su complejidad por un gran número de neuronas, para ser almacenada y cuando se repite, el número de neuronas que intervienen es disminuido, para ello, veamos el siguiente ejemplo, tomemos el cubo de los primeros 7 números naturales, uno a la vez, sin duda usted no tendrá dificultad en calcular los primeros cinco de ellos, e incluso tal vez estén almacenados en su memoria, pero que sucede en el sexto y séptimo número, el número de neuronas que intervienen cambiará y una vez realizada la operación ésta es almacenada y puede ser recobrada en un período de tiempo corto (memoria volátil), o se puede lograr que los períodos de tiempo sean más grandes, mediante el reforzamiento de estas operaciones, es aquí donde el maestro debe de buscar estrategias, que le permitan al alumno el pasar su conocimiento a una memoria de largo plazo lo que requiere del profesor mayor tiempo para la realización de estas tareas y la evaluación de las mismas la cual debe de ser lo mas inmediata posible para que retroalimente el proceso de aprendizaje.

Es por ello que buscando alternativas de solución a esta problemática y en base a investigaciones realizadas con alumnos del nivel medio superior se diseño el programa Aritmética, además pensando en que los alumnos requieren de bases aritméticas firmes que les permitan desarrollar sus habilidades operacionales. Este programa de autoevaluación por medio de la computadora permite al usuario practicar las operaciones aritméticas en distintos grados de dificultad y verificar sus resultados. En Aritmética contempla diferentes tipos de operaciones, que van desde las tablas de sumar y multiplicar, hasta el orden en las operaciones y los símbolos de agrupamiento.

Otro punto de vista que se tomo en cuenta es el hecho de que el alumno fracasa en gran parte en álgebra, la geometría analítica, y el cálculo diferencial e integral debido a sus bases de aritmética, las cuales en el mayor de los casos no les permiten la agilidad suficiente para la realización operaciones a la velocidad de la clase, esto se debe por lo general a la falta de ejercicios y sobre todo la revisión de estos.

La autoevaluación con apoyo de la computadora permite al usuario practicar las operaciones aritméticas en distintos grados de dificultad y verificar sus resultados y procedimientos de solución en forma inmediata. Se compone de tres programas tablas de multiplicar y sumar, aritmética básica y orden en las operaciones.

Este programa está diseñado por menús de forma tal que permite al alumno sin ninguna dificultad su uso, no requiere de saber computación o de cursos para poder utilizarlo, desde el primer momento el puede introducirse a este nuevo mundo, evitando que al alumno se le forme un obstáculo cognitivo, lo que sucede por lo general con algunos paquetes de enseñanza, que para aprender la materia se requiere de el manejo de este paquete, lo que supone vendrá a simplificar la "enseñanza" de esta.

Este programa a sido probado con mas de mil alumnos, dentro de los cuales un promedio aceptable para resolver ejercicios es, de 350, en un tiempo de 45 minutos, el tipo de ejercicios que se presentan es del formato siguiente:

=

donde el solo tiene que teclear el resultado. Siendo un récord de algunos alumnos que han resuelto 1300 ejercicios aproximadamente en ese tiempo, (29 ejercicios por minuto).

En los ejercicios de orden en las operaciones, disminuye el numero de ejercicios dada la cantidad de operaciones que tiene que resolver, tomando como un promedio el de 140 ejercicios.

Presenta una alternativa de enseñanza individualizada, ya que contempla un menú de ayuda que le permite al alumno ejercitar en el tema y ser evaluado, además de que el maestro en el salón de clases se dedica a los alumnos que presentan problemas de aprendizaje .

Aritmética contempla un menú de ejercicios clasificados en orden de dificultad y generados aleatoriamente dando al alumno la relación entre temas y evitando que el alumno destaque solo en uno y no llegue a la globalización del conocimiento.

Los niveles que se consideran son:

TABLAS DE MULTIPLICAR Y SUMAR

1) SUMAR

1) DEL 0 AL 10

2) DEL 0 AL 100

2) MULTIPLICAR

1) DEL 0 AL 10

2) DEL 0 AL 25

MENU DE OPERACIONES ARITMETICAS

1) AYUDA

1) Operaciones con números enteros de signos iguales

2) Operaciones con números enteros de signos diferentes

3) Orden en las operaciones

4) Simbolos de agrupamiento

2) Operaciones con números enteros

2) BASICO

3) BAJO

MENU DE ORDEN EN LAS OPERACIONES

1) BAJO

2) MEDIO

3) AVANZADO

Aritmética cuenta con una miscelánea, lo que permite que el alumno relacione y opere todos los tipos de ejercicios.

Presentación del modelo de los ejercicios que se utilizan en:

OPERACIONES ARITMÉTICAS

NIVEL BAJO

1) B + C 8) C * D

2) B + C 7) B - C * D

3) B - C 8) B * C - D

4) B - C 9) B * C + D * D

5) B * C + D 10) B * C - D * D

Los cuatro primeros niveles presentan una suma o diferencia donde se establecen los niveles mínimos de operación, del ejercicio 5 al 10 se establecen las prioridad que tiene la suma con respecto al producto.

AGRUPAMIENTO EN LAS OPERACIONES

Los ejercicios se encuentran clasificados en orden progresivo, en el agrupamiento de esta por medio de llaves ({ }), corchetes ([ ]) y paréntesis ( ), se establecen tres niveles, bajo, medio y avanzado, en los cuales se han considerado que el alumno las domine en diferentes presentaciones.

NIVEL BAJO

1) B - (C + D) 6) B (C - D) - E

2) (B + C) - D 7) B ( C - D) + E

3) B + C (D + E) 8) B ( C - D) - E

4) B - C (D + E) 9) B + C (D - E * F)

5) B (C - D) + E 10) B - C (D - E * F)

En este nivel se considera le uso del agrupamiento por medio de paréntesis para que se establezca la prioridad de este cuando se realizan las operaciones; en los dos últimos ejercicios se considera además el orden que deben de guardar las operaciones de suma y producto.

NIVEL MEDIO

1) B [(C + D) E] 6) B [C + D(E - F *G)]

2) B [(C (D + E)] 7) B [C - D(E + F * G)]

3) B [C - D (E -F)] 8) B + C[D - E(F + G * H)]

4) B [C - D(E + F)] 9) B - C[D - E(F - G * H)]

5) B [C - D(E + F)] 10) B[ C + D (E - F * G) + H (I + J)]

NIVEL AVANZADO

1) B{C + [D + E(F - G)]} 6) B{C - D[E - F(G + H * C)]}

2) B{C + D [E + F(G - H)]} 7) B{C - D[E - F(G - H * I)]}

3) B{C - D [(E - F) - G(H + C)]} 8) B{C - D[E + F(G * H + I)]}

4) B{C + D [E + F(G + H * I)]} 9) B{(C - D) + E(F + G)] - H}

5) B{C - D[E + F(G - H * I)]} 10) B{C - D[(E - F) + G(H + I)]}

Aritmética brinda al maestro un menú de estadística que le presenta los aciertos y errores cometidos por el alumno, determinando de inmediato las fallas que comete al dar solución a un ejercicio.

Este programa se encuentra en el proceso de evaluación y se ha probado con 40 alumnos en forma individual para realizar las correcciones de los obstáculos que presente el alumno a utilizar esté.

GRAFICACIÓN CON AYUDA DE LA COMPUTADORA

El presente trabajo analiza la problemática que presenta el alumno, en el tema de graficación en el plano de coordenadas cartesianas, en el nivel medio superior en nuestro Centro de Estudios y se propone una optativa con el apoyo de la computadora. Uno de los primeros problemas que se plantea el alumno lo analizamos en las siguientes preguntas que el realizan en los cursos: øCuantos valores debo de tomar?, øCuales debo de tomar? øSiempre son los mismos?, øSolo valores enteros?

En fin pueden surgir mas, veamos cuales son nuestras respuestas y en le alumno las confusiones que se crean.

En la primera pregunta son varias las respuestas, si se trata de una ecuación de primer grado, tomamos dos o tres valores, si es de segundo grado seis o siete, si es racional o trascendente el numero de valores aumenta, de ahí que surge la pregunta siguiente, Cuales debo de tomar? y por lo general la respuesta es positivos negativos y el cero, en la tercera y cuarta pregunta, en un principio las tratamos como verdaderas pero después tenemos problemas, cuando las curvas se truncan por ejemplo:

En la ecuación es X²+ x indicamos que aumentaremos el numero de puntos para aproximarnos mas a la forma de la curva, como estos por lo general serán decimales enfrentaremos otro tipo de problemas aritméticos, esto lleva al alumno a verdaderas confusiones en el procedimiento de la graficación.

Un segundo problema que observamos, es que en la mayoría de los alumnos se desplazan fácilmente por temas o sea son temistas, otros en menor numero solo glovalizan y en mucho menor numero son versátiles o sea dominan los dos aspectos .

Si analizamos los temas que utilizamos en la graficación, como son ,Valor numérico, Formar un tabulador, Localización de puntos en el plano, Unir puntos por segmentos de rectas. Ninguno de ellos representa presenta un problema por si mismo, sino por el contrario, son sumamente sencillos a excepción del primero, en el cual el problema radique posiblemente en las bases aritméticas con las que se cuente.

En estudios que se han realizado el alumno presenta serios problemas en el paso de valor numérico a tabla y de tabla a la localización de puntos.

Un tercer problema, que encontramos radica en el tiempo, que por una parte los programas dedican a este, y por el otro el que se requiere para resolver el ejercicio, lo que lleva a la resolución de un numero muy limitado de estos.

Un cuarto problema, es cuando utiliza un gratificador, por lo general estos dan una imagen muy cercana a la realidad, la cual distara mas de la imagen que el obtiene en su cuaderno, sin tomar en cuenta el tiempo que le tome el aprender a utilizarlo, por ejemplo al graficar la función cuadrática veamos lo que se obtiene, con valores enteros>

con un incremento de 0.3 en el mismo intervalo

Lo anterior nos sirvió para diseñar un software que permita al alumno utilizarlo en forma sencilla, donde el pueda comprobar sus ejercicios y lo mas apegado a sus resultados, dicho programa permite trabajar en forma individual o por equipos.

GEOMETRÌA ANÀLITICA

En este programa se abordan los problemas que se tratan en la Geometría Analítica desde el punto de vista de lo geométrico a lo analítico, que por lo general el alumno no realiza en la clase, por diferentes motivos, por ejemplo el hecho de dado un lugar geométrico obtener su ecuación ya que siempre es común el tratar problemas del tipo analítico o sea dada la ecuación obtener su lugar geométrico, dando poca importancia a los primeros.

Este software se diseño en forma amigable, evitando así, que el alumno tenga como dificultad aprender a utilizar un programa para aprender matemáticas, lo que representaría un obstáculo cognoscitivo mas en el aprendizaje de la geometría analítica.

El hecho de proponer este tipo de ejercicios nace de la dificultad que presenta el alumno para tener imágenes que le permitan establecer discusiones sobre el tema, un ejemplo muy palpable es cuando nosotros le pedimos una imagen de x - y = 0 (realice este experimento, tendrá buenas sorpresas) contra la no imagen de una naranja, bueno, esto nos puede dar idea de lo que es abstracto y concreto (o sea dejar en blanco el cerebro del alumno, experimento realizado con mas de 1000 alumnos con los mismos resultados que usted obtendrá al efectuarlo) para el alumno en el salón de clases y de la problemática del alumno conceptualmente.

Cuando el alumno tiene una imagen clara, él puede hablar del color forma y hasta, decir cualidades, inducir soluciones, etc., pero cuando el alumno carece de estas, solo puede imitar lo que el maestro realiza (por lo general una serie de pasos analíticos aprendidos de memoria, forma de aprendizaje del niño en sus primeras etapas de la vida) lo que trae como resultado que si el problema tiene la mas mínima variación , el se pierda en el procedimiento conduciéndose de tal manera al fracaso y por ende a aborrecer a las matemáticas.

Otro problema que se presenta para el alumno es saber si los ejercicios que resuelve son correctos o no, o la cantidad de ejercicios que resolvió le permitan asimilar por completo el conocimiento ya que cada alumno presenta diferentes necesidades de aprendizaje por ultimo podemos señalar que el alumno no realiza ejercicios que le permitan globalizar el conocimiento situación que se deja al alumno para efectuar la medición de su conocimiento a través de una serie de ejercicios nuevos para el ( el alumno al final del examen reclama el hecho de que el maestro resuelve en clase los ejercicios sencillos y me pregunta los difíciles).

En base a investigaciones realizadas en varios centros de estudios de nivel medio superior se planeo una estrategia con apoyo de la computadora que es la que presentamos a continuación y donde el alumno trabaja libremente con magníficos resultados.

El programa Geometría Analítica brinda una optativa en el planteamiento y evaluación por computadora de este tipo de problemas.

Los temas que se tratan son:

A) Localización de puntos en el plano cartesiano.

B) Distancia entre dos puntos.

C) Ecuación de la recta

D) Rectas paralelas

a) Rectas paralelas a una recta dada.

b) Rectas paralelas que pasan por un punto dado.

E) Rectas perpendiculares

a) Rectas perpendiculares a una recta dada.

b) Rectas perpendiculares que pasan por un punto dado.

A) LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO CARTECIANO.

Presenta un plano cartesiano donde aparece un punto señalado por (x) y el alumno teclea la abscisa y la ordenada, la máquina evalúa y responde.

B) DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

En un plano cartesiano aparecen dos puntos marcados con (x) y unidos por un segmento de recta, el alumno teclea el valor de la distancia y es evaluado en el instante, es de aclarar, que el alumno puede usar calculadora, lápiz y papel.

C) ECUACIÓN DE LA RECTA.

En este menú aparece una recta en un plano de coordenadas cartesianas (visual) el alumno tendrá que dar la ecuación de esa recta (simbólico) de la misma manera se usa para dar paralelas, perpendiculares, paralelas por un punto dado y perpendiculares por un punto dado, estos problemas han sido seleccionados en base a los requerimientos de enseñanza de los cursos de geometría analítica de nivel bachillerato, es importante señalar que esta optativa permite al alumno tratar los problemas en forma visual

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